兔子大概是每個(gè)中國人最早認(rèn)識的動物之一。家養(yǎng)的，書本上讀的，最重要的是，不管喜不喜歡數(shù)學(xué)，都會在小學(xué)遇上一道“雞兔同籠”題。這道題和一邊進(jìn)水一邊放水的“池子蓄水池”題一樣，曾是很多人的噩夢。

“雞兔同籠”題有超過1500多年的歷史。我們能見到它最早的文字記錄是在大約公元四世紀(jì)的《孫子算經(jīng)》上。這本數(shù)學(xué)書作者不詳，所涉題目大都和生活密切相關(guān)。比如丈量土地、測量河寬。而在1500年前，兔子已是常見動物，且已被家養(yǎng)，能出現(xiàn)“雞兔同籠”這種略顯變態(tài)的數(shù)學(xué)題，不足為怪。

《孫子算經(jīng)》里的“雞兔同籠”書影

(相關(guān)資料圖)

在《孫子算經(jīng)》中，這條題是這樣的：

“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。問雉兔各幾何。”

同時(shí)，這本書也給出了一種算法：抬足法，相信上過小學(xué)的讀者對此不會陌生。具體的算法就是：假設(shè)讓雞抬起一條腿，兔子抬起兩條腿，94/2=47，腳與頭的總數(shù)差為47-35=12，籠子里每只兔子比雞的腳數(shù)多一個(gè)，此時(shí)的12就是兔子的只數(shù)，知道了兔子的數(shù)量，35-12=23，這就是雞的數(shù)量。

“雞兔同籠”問題后來又收錄于明代數(shù)學(xué)家程大位所著《算法統(tǒng)宗》中。他把題目中的“雉”改為 “雞”，“雞兔同籠”的說法由此而來，并沿用至今。

這道經(jīng)典數(shù)學(xué)題后來傳到日本，改頭換面，成了“鶴龜算”：

“某處有鶴龜百頭，只云足數(shù)和為二百七十二，問鶴龜各幾何?”

這道題就不給答案了，有興趣的讀者自己算一下。

石灣窯藍(lán)白釉兔形硯滴 現(xiàn)藏北京故宮博物院

不光國內(nèi)的數(shù)學(xué)家關(guān)注兔子，國外數(shù)學(xué)家也關(guān)注，但關(guān)注的點(diǎn)不一樣。

意大利人對兔子并不陌生，在古羅馬時(shí)期，軍人將兔子當(dāng)作軍糧。在不打仗的時(shí)候，還把兔子放出來，嬉戲玩耍。兔子每年6-8窩的強(qiáng)大繁殖能力也引起了意大利人的關(guān)注。現(xiàn)代科學(xué)也證實(shí)了兔子可以異期復(fù)孕，也就是兔子一個(gè)子宮內(nèi)可以產(chǎn)生不同的胎盤，在已經(jīng)懷孕的情況下，還可以再懷一胎，這可以讓兔子在繁殖期多產(chǎn)生35%的后代。

13世紀(jì)，意大利數(shù)學(xué)家倫納德就兔子繁殖問題提出一個(gè)經(jīng)典數(shù)學(xué)問題：

某人將1對兔子放于四面圍墻的地方。假如每個(gè)月每對兔子能生出2只兔子，第2個(gè)月新生兔子也開始繁殖，那么在一年里，這對兔子能繁衍出多少對兔子？

這道題很早就有了答案：第一個(gè)月小兔子沒有繁殖能力,所以還是一對。兩個(gè)月后（也就是第三個(gè)月），生下一對小兔子，對數(shù)共有兩對。三個(gè)月以后，老兔子又生下一對，小兔子長成為大兔子，還沒有繁殖能力,所以一共是三對兔子，四個(gè)月后就是五對兔子……數(shù)學(xué)家在對兔子每個(gè)月的繁殖數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后，確定到年末共有233對兔子。

而在對每個(gè)月的兔子數(shù)量進(jìn)行排列時(shí)，發(fā)現(xiàn)一個(gè)規(guī)律：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233……即每一項(xiàng)都是前面相鄰兩項(xiàng)之和。這個(gè)數(shù)列被稱為“兔子數(shù)列”。

這個(gè)兔子數(shù)列在現(xiàn)代物理學(xué)中作用甚大，甚至在量子力學(xué)中，兩粒子糾纏態(tài)、量子臨界點(diǎn)研究也離不開兔子數(shù)列。要說現(xiàn)代科學(xué)的發(fā)展有兔子的貢獻(xiàn)，應(yīng)該也不為過吧。 臧磊

（題圖圖源：視覺中國）

校對 李海慧

關(guān)鍵詞： 現(xiàn)代科學(xué) 在古羅馬